Cartabón: qué es, sus ángulos y cómo usarlo con la escuadra

La hipotenusa de un cartabón mide exactamente el doble que su cateto corto, y sus ángulos son de 30, 60 y 90 grados. Si el cateto corto mide 10 centímetros, la hipotenusa mide 20 y el cateto largo unos 17,3, que es 10 por la raíz cuadrada de 3. Esa proporción fija es lo que lo hace tan útil.

Con esa plantilla y la escuadra se resuelven casi todos los trazados del dibujo técnico de secundaria y bachillerato sin tocar el transportador: rectas paralelas, perpendiculares, ángulos exactos y polígonos regulares. Esta guía explica cada pieza, cómo se combinan y tres ejercicios resueltos con medidas, para hacerlos en una lámina con lápiz.

Qué es un cartabón y en qué se diferencia de la escuadra

Un cartabón es una plantilla con forma de triángulo rectángulo escaleno, es decir, con un ángulo recto y los tres lados de distinta longitud. Así lo define la enciclopedia, que añade que suele fabricarse en plástico transparente y que puede llevar una escala graduada. Se usa en dibujo técnico, sola o junto a la escuadra.

La escuadra, en cambio, es un triángulo rectángulo isósceles: dos lados iguales y dos ángulos de 45 grados. Las dos plantillas forman el juego básico de cualquier estuche de dibujo técnico, y se venden casi siempre juntas. Lo que importa al usarlas es saber qué ángulo y qué lado de cada una se apoya en cada trazado.

	Escuadra	Cartabón
Tipo de triángulo	Rectángulo isósceles	Rectángulo escaleno
Ángulos	45°, 45° y 90°	30°, 60° y 90°
Lados	Dos catetos iguales	Tres lados distintos
Proporción	Hipotenusa = cateto × 1,414	Hipotenusa = cateto corto × 2
Uso típico	Ángulos de 45° y perpendiculares	Ángulos de 30° y 60°, hexágonos, isométrica

La palabra tiene una curiosidad. Según la enciclopedia, procede del italiano quartabono o del occitano escartabont, y es un falso amigo: en catalán e italiano el término equivalente designa un triángulo isósceles, lo que aquí se llama escuadra. Quien estudie con apuntes en catalán o italiano debe tenerlo en cuenta al leer los ejercicios.

Ángulos del cartabón y de la escuadra, y cómo se combinan

Cada plantilla da por sí sola sus propios ángulos: 30, 60 y 90 grados una, 45 y 90 la otra. Pero lo que convierte el juego en una herramienta completa es la combinación. Apoyando una pieza en la otra se suman o restan sus ángulos, y aparecen valores que ninguna tiene por separado, siempre múltiplos de 15 grados.

Ángulo	Cómo se obtiene
15°	45° − 30°
75°	45° + 30°
105°	60° + 45°
120°	90° + 30°
135°	90° + 45°
150°	90° + 60°
165°	120° + 45°

En la práctica, para un ángulo de 75 grados se traza primero una recta a 45 grados con la escuadra y, sobre ella, se apoya la otra plantilla para añadir 30. Para 15 grados se hace lo contrario: se resta. Con algo de práctica, cualquier múltiplo de 15 grados entre 0 y 180 sale sin transportador.

Dos cartabones iguales unidos por su cateto largo forman un triángulo equilátero, con sus tres ángulos de 60 grados. Es la otra cara de la proporción del principio: el triángulo de 30 y 60 grados es exactamente medio triángulo equilátero cortado por su altura. Por eso esta plantilla es la herramienta natural para hexágonos y triángulos equiláteros.

Cómo usar escuadra y cartabón para trazar paralelas

El trazado de paralelas es el uso más frecuente del juego de escuadra y cartabón. Se coloca un lado de una de las plantillas exactamente sobre la recta de partida. Después se apoya la otra plantilla, firme, contra otro lado de la primera, de modo que haga de guía. La mano izquierda sujeta la guía sin moverla.

Con la guía fija, se desliza la primera plantilla a lo largo de ella, sin girarla. Cada posición del lado que estaba sobre la recta inicial es ahora una paralela a esa recta, y basta con trazar con el lápiz. Así se dibujan rayados uniformes, los lados opuestos de un rectángulo o las líneas guía de una rotulación.

El error más común es que la guía se mueva un poco mientras se desliza la otra pieza, y las paralelas dejan de serlo. Conviene apoyar bien la palma sobre la guía y deslizar con dos dedos. Si la lámina es grande, la regla larga puede sustituir a una de las plantillas como guía, con el mismo método.

Perpendiculares con la escuadra y el cartabón

Para trazar una perpendicular a una recta, el método clásico usa los dos catetos de la escuadra. Se coloca la escuadra con su hipotenusa sobre la recta y se apoya la otra plantilla contra uno de sus catetos. Sin mover esa guía, se gira la escuadra hasta apoyar en ella su otro cateto.

La hipotenusa de la escuadra queda entonces girada 90 grados respecto a la posición inicial, es decir, perpendicular a la recta. Deslizándola a lo largo de la guía se puede llevar a cualquier punto, por ejemplo para levantar una perpendicular desde un extremo de un segmento o desde un punto exterior a la recta.

Existe una forma más directa si la recta es horizontal y hay una regla de apoyo: basta con apoyar un cateto de cualquiera de las dos plantillas sobre la regla, porque el otro cateto queda vertical. El método del giro sirve, sin embargo, para rectas inclinadas, que es donde la escuadra y el cartabón demuestran su utilidad real.

Tres ejercicios resueltos con escuadra y cartabón

Primer ejercicio, un triángulo equilátero de 5 centímetros de lado. Se dibuja la base AB de 5 centímetros. Con la plantilla de 30 y 60 grados apoyada en una regla alineada con la base, se traza desde A una recta a 60 grados. Se da la vuelta a la plantilla y se repite desde B hacia el otro lado.

Las dos rectas se cortan en el vértice C. Si el trazado es correcto, AC y BC miden también 5 centímetros, y la altura desde C hasta la base mide unos 4,33 centímetros, que es 5 por la raíz de 3 dividido entre 2. Medir esa altura con la regla es la comprobación rápida del ejercicio.

Segundo ejercicio, dividir un segmento de 7 centímetros en tres partes iguales sin calcular decimales. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar con cualquier inclinación y sobre ella se marcan tres segmentos iguales de, por ejemplo, 2 centímetros. La última marca se une con el extremo B del segmento.

Después, con el método de las paralelas, se trazan por las otras dos marcas rectas paralelas a esa unión, hasta cortar el segmento original. Los cortes lo dividen en tres partes iguales de unos 2,33 centímetros cada una. Es una aplicación directa del teorema de Tales, y funciona igual para cinco, siete o cualquier número de partes.

Tercer ejercicio, un hexágono regular de 3 centímetros de lado. Se traza una recta horizontal y se marca un lado AB de 3 centímetros. Desde cada extremo se dibujan rectas a 120 grados respecto a la base, combinando la escuadra en posición vertical con la plantilla de 30 grados, y se marcan sobre ellas 3 centímetros.

Repitiendo el giro de 120 grados en cada vértice nuevo se cierran los seis lados. En un hexágono regular, el lado mide lo mismo que el radio de la circunferencia que lo rodea, de modo que la distancia entre dos vértices opuestos debe ser de 6 centímetros. Ese dato sirve para comprobar el resultado con la regla.

Tamaños y materiales: cómo elegir una escuadra y un cartabón

Las dos plantillas se fabrican en varios tamaños y, según la enciclopedia, en distintos materiales, aunque el más práctico es el plástico transparente porque deja ver el trazado. Faber-Castell, por ejemplo, incluye en su catálogo una regla triangular de 60 grados y 32 centímetros que presenta para trabajos a tinta y a lápiz.

Para el colegio y el instituto conviene que las dos piezas sean de la misma serie y del mismo tamaño nominal, para que los cantos se apoyen bien al deslizarlas. Para tinta, interesa un canto rebajado que evite que la tinta corra bajo la plantilla. La escala graduada es útil, pero no sustituye a una regla para medir.

Comprobar que el ángulo recto es exacto

Un ángulo recto mal fabricado arruina cualquier perpendicular. La prueba es sencilla: apoya un cateto sobre una regla fija y traza una línea por el otro. Da la vuelta a la plantilla, apóyala de nuevo en la regla junto a esa línea y traza otra. Si las dos líneas coinciden, el ángulo mide 90 grados exactos.